§5.1 線形写像と行列
| 作成日時： | 2021年8月18日 |
| 更新日時： | 2021年8月18日 |
こんにちは、やみとも(@yamitomo_blog)です。
この記事は筑波大学の照井先生がYouTubeで公開されている次の講義動画の板書と自分なりの補足です。
\(f : K^n \longrightarrow K^m\) が線形写像 \( \mathrel{\stackrel{\text{def}}{\iff}}\) \( \forall \boldsymbol{x}, \forall \boldsymbol{y} \in K^n, \ \forall \lambda \in K \) に対して
(LM1) \( f( \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} ) = f(\boldsymbol{x}) + f(\boldsymbol{y}) \)
(LM2) \( f( \lambda \boldsymbol{x} ) = \lambda f(\boldsymbol{x}) \)
が成り立つ
(※)LM1を和の重ね合わせの原理、LM2をスカラー倍の重ね合わせの原理という。
\( Hom( K^n, K^m ) \mathrel{\stackrel{\text{def}}{\iff}} \) \( K^n \)から\( K^m \)への線形写像全体の集合
(※)Homはhomomorphism(準同形)の略だと思われる
\( End(K^n) \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} Hom(K^n, K^n) \)
(\(\iff K^n \)から\( K^n \)への線形写像全体の集合 )
(※)Endはendmorphism(自己準同形)の略だと思われる
【証明】
\( f(\boldsymbol{0}) = f(\boldsymbol{0} + \boldsymbol{0}) = f(\boldsymbol{0}) + f(\boldsymbol{0}) \)
上式の両辺から\(f(\boldsymbol{0})\)を引けば得られる。(和の重ね合わせの原理を用いた)
\[
\begin{eqnarray}
L_A : K^n &\longrightarrow& K^m \\
\boldsymbol{x} &\mapsto& A \boldsymbol{x}
\end{eqnarray}
\]
を定めると、\(L_A\)は線形写像
(※)ここで\( (a_{ij}) \)という記号はm行n列の行列を表す
行列を1つ取ってくると、対応する線形写像が1つ決まることは上の例で分かったが、一般の線形写像に対して必ず行列が対応するかはまだ分からない。
だが、この後の内容で「任意の線形写像は行列で表すことができる！」ということを示す。
\begin{eqnarray}
f : K^n &\longrightarrow& K^m \\
\boldsymbol{x}_1 &\mapsto& \boldsymbol{x}_1' \\
\boldsymbol{x}_2 &\mapsto& \boldsymbol{x}_2' \\
\boldsymbol{x}_3 &\mapsto& \boldsymbol{x}_3' \\
&\vdots&
\end{eqnarray}
\]
このように元の対応を書いていっても\(f\)の定義を書ききれない。そこで・・・
\( K^n \)のベクトル \( \boldsymbol{x} \) を次のように表す
\( \boldsymbol{x} = c_1 \boldsymbol{e}_1 + c_2 \boldsymbol{e}_2 + \cdots + c_n \boldsymbol{e}_n \)
\( \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n \)は基本ベクトルで、それぞれ
\( \boldsymbol{e}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) \quad \boldsymbol{e}_2 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) \quad \boldsymbol{e}_n = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right) \)
のように表される
このとき、線形写像の重ね合わせの原理より
\[
\begin{eqnarray}
f( \boldsymbol{x} ) &=& f( c_1 \boldsymbol{e}_1 + c_2 \boldsymbol{e}_2 + \cdots + c_n \boldsymbol{e}_n ) \\
&=& c_1 f( \boldsymbol{e}_1) + c_2 f(\boldsymbol{e}_2) + \cdots + c_n f(\boldsymbol{e}_n)
\end{eqnarray}
\]
ゆえに、基本ベクトル\( \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n \)の行先さえ決まれば、\( \forall \boldsymbol{x} \in K^n \)の行先が決まる！
線形写像を1つ定める(与える) \( \iff \) \( \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n \)の行先を定める
\begin{eqnarray}
f : K^n &\longrightarrow& K^m \\
\boldsymbol{e}_1 &\mapsto& \boldsymbol{a}_1 \\
\boldsymbol{e}_2 &\mapsto& \boldsymbol{a}_2 \\
&\vdots& \\
\boldsymbol{e}_n &\mapsto& \boldsymbol{a}_n
\end{eqnarray}
\]
と表すことができるが、より明快な表し方はないのか？(※\(f\)は線形写像)
そこで、\( f( \boldsymbol{e}_1 ), \cdots , f( \boldsymbol{e}_n ) \)を以下のように表す
\( f( \boldsymbol{e}_1 ) = \boldsymbol{a}_1 = \left( \begin{array}{c} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right) , \quad f( \boldsymbol{e}_2 ) = \boldsymbol{a}_2 = \left( \begin{array}{c} a_{12} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{array} \right) , \quad f( \boldsymbol{e}_n ) = \boldsymbol{a}_n = \left( \begin{array}{c} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right) \)
次に\( \boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n \)を並べて行列を作る
\[
A = (\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n) =
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right)
\]
すると
\[
f( \boldsymbol{e}_1 ) = \boldsymbol{a}_1 = \left( \begin{array}{c} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right)
=
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right)
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right)
= A \boldsymbol{e}_1
\quad , \quad f( \boldsymbol{e}_2 ) = A \boldsymbol{e}_2
\quad , \quad \cdots
\quad , \quad f( \boldsymbol{e}_n ) = A \boldsymbol{e}_n
\]
ゆえに\( c_1 \boldsymbol{e}_1 + c_2 \boldsymbol{e}_2 + \cdots + c_n \boldsymbol{e}_n \in K^n \)に対して
\[
\begin{eqnarray}
f( \boldsymbol{x} ) &=& f( c_1 \boldsymbol{e}_1 + c_2 \boldsymbol{e}_2 + \cdots + c_n \boldsymbol{e}_n ) \\
&=& c_1 f(\boldsymbol{e}_1) + c_2 f(\boldsymbol{e}_2)+ \cdots + c_n f(\boldsymbol{e}_n) \\
&=& c_1 A \boldsymbol{e}_1 + c_2 A \boldsymbol{e}_2 + \cdots + c_n A \boldsymbol{e}_n \\
&=& A c_1 \boldsymbol{e}_1 + A c_2 \boldsymbol{e}_2 + \cdots + A c_n \boldsymbol{e}_n \\
&=& A( c_1 \boldsymbol{e}_1 + c_2 \boldsymbol{e}_2 + \cdots + c_n \boldsymbol{e}_n ) \\
&=& A \boldsymbol{x}
\end{eqnarray}
\]
よって任意の線形写像がある行列で表される！
次に線形写像\(f\)の行列での表し方が一意的であることを示す
\( B = ( b_{ij} ) \in K^{m \times n} \)を\(f\)の行列表示とすると
\[
f( \boldsymbol{e}_1 ) = A \boldsymbol{e}_1 =
\left( \begin{array}{c} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right)
= B \boldsymbol{e}_1 =
\left( \begin{array}{c} b_{11} \\ \vdots \\ b_{m1} \end{array} \right)
より
\left( \begin{array}{c} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} b_{11} \\ \vdots \\ b_{m1} \end{array} \right) \\
\quad \vdots \\
f( \boldsymbol{e}_n ) = A \boldsymbol{e}_n =
\left( \begin{array}{c} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right)
= B \boldsymbol{e}_n =
\left( \begin{array}{c} b_{1n} \\ \vdots \\ b_{mn} \end{array} \right)
より
\left( \begin{array}{c} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} b_{1n} \\ \vdots \\ b_{mn} \end{array} \right) \\
\therefore A = B
\]
\( f = L_A \)と一意的に表される
この記事は筑波大学の照井先生がYouTubeで公開されている次の講義動画の板書と自分なりの補足です。
§5.1 線形写像と行列
定義5.1
\(K^n, K^m\)を数ベクトル空間とする\(f : K^n \longrightarrow K^m\) が線形写像 \( \mathrel{\stackrel{\text{def}}{\iff}}\) \( \forall \boldsymbol{x}, \forall \boldsymbol{y} \in K^n, \ \forall \lambda \in K \) に対して
(LM1) \( f( \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} ) = f(\boldsymbol{x}) + f(\boldsymbol{y}) \)
(LM2) \( f( \lambda \boldsymbol{x} ) = \lambda f(\boldsymbol{x}) \)
が成り立つ
(※)LM1を和の重ね合わせの原理、LM2をスカラー倍の重ね合わせの原理という。
\( Hom( K^n, K^m ) \mathrel{\stackrel{\text{def}}{\iff}} \) \( K^n \)から\( K^m \)への線形写像全体の集合
(※)Homはhomomorphism(準同形)の略だと思われる
\( End(K^n) \mathrel{\stackrel{\text{def}}{=}} Hom(K^n, K^n) \)
(\(\iff K^n \)から\( K^n \)への線形写像全体の集合 )
(※)Endはendmorphism(自己準同形)の略だと思われる
命題
\( \forall f : K^n \longrightarrow K^m\) に対して \(f(\boldsymbol{0}) = \boldsymbol{0} \) \(f\)は線形写像【証明】
\( f(\boldsymbol{0}) = f(\boldsymbol{0} + \boldsymbol{0}) = f(\boldsymbol{0}) + f(\boldsymbol{0}) \)
上式の両辺から\(f(\boldsymbol{0})\)を引けば得られる。(和の重ね合わせの原理を用いた)
線形写像の例
\( A = (a_{ij}) \in K^{m \times n} \) に対して、写像\[
\begin{eqnarray}
L_A : K^n &\longrightarrow& K^m \\
\boldsymbol{x} &\mapsto& A \boldsymbol{x}
\end{eqnarray}
\]
を定めると、\(L_A\)は線形写像
(※)ここで\( (a_{ij}) \)という記号はm行n列の行列を表す
行列を1つ取ってくると、対応する線形写像が1つ決まることは上の例で分かったが、一般の線形写像に対して必ず行列が対応するかはまだ分からない。
だが、この後の内容で「任意の線形写像は行列で表すことができる！」ということを示す。
(一般の)線形写像の与え方
\[\begin{eqnarray}
f : K^n &\longrightarrow& K^m \\
\boldsymbol{x}_1 &\mapsto& \boldsymbol{x}_1' \\
\boldsymbol{x}_2 &\mapsto& \boldsymbol{x}_2' \\
\boldsymbol{x}_3 &\mapsto& \boldsymbol{x}_3' \\
&\vdots&
\end{eqnarray}
\]
このように元の対応を書いていっても\(f\)の定義を書ききれない。そこで・・・
\( K^n \)のベクトル \( \boldsymbol{x} \) を次のように表す
\( \boldsymbol{x} = c_1 \boldsymbol{e}_1 + c_2 \boldsymbol{e}_2 + \cdots + c_n \boldsymbol{e}_n \)
\( \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n \)は基本ベクトルで、それぞれ
\( \boldsymbol{e}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) \quad \boldsymbol{e}_2 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) \quad \boldsymbol{e}_n = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right) \)
のように表される
このとき、線形写像の重ね合わせの原理より
\[
\begin{eqnarray}
f( \boldsymbol{x} ) &=& f( c_1 \boldsymbol{e}_1 + c_2 \boldsymbol{e}_2 + \cdots + c_n \boldsymbol{e}_n ) \\
&=& c_1 f( \boldsymbol{e}_1) + c_2 f(\boldsymbol{e}_2) + \cdots + c_n f(\boldsymbol{e}_n)
\end{eqnarray}
\]
ゆえに、基本ベクトル\( \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n \)の行先さえ決まれば、\( \forall \boldsymbol{x} \in K^n \)の行先が決まる！
線形写像を1つ定める(与える) \( \iff \) \( \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n \)の行先を定める
線形写像の表し方
\[\begin{eqnarray}
f : K^n &\longrightarrow& K^m \\
\boldsymbol{e}_1 &\mapsto& \boldsymbol{a}_1 \\
\boldsymbol{e}_2 &\mapsto& \boldsymbol{a}_2 \\
&\vdots& \\
\boldsymbol{e}_n &\mapsto& \boldsymbol{a}_n
\end{eqnarray}
\]
と表すことができるが、より明快な表し方はないのか？(※\(f\)は線形写像)
そこで、\( f( \boldsymbol{e}_1 ), \cdots , f( \boldsymbol{e}_n ) \)を以下のように表す
\( f( \boldsymbol{e}_1 ) = \boldsymbol{a}_1 = \left( \begin{array}{c} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right) , \quad f( \boldsymbol{e}_2 ) = \boldsymbol{a}_2 = \left( \begin{array}{c} a_{12} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{array} \right) , \quad f( \boldsymbol{e}_n ) = \boldsymbol{a}_n = \left( \begin{array}{c} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right) \)
次に\( \boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n \)を並べて行列を作る
\[
A = (\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n) =
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right)
\]
すると
\[
f( \boldsymbol{e}_1 ) = \boldsymbol{a}_1 = \left( \begin{array}{c} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right)
=
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right)
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right)
= A \boldsymbol{e}_1
\quad , \quad f( \boldsymbol{e}_2 ) = A \boldsymbol{e}_2
\quad , \quad \cdots
\quad , \quad f( \boldsymbol{e}_n ) = A \boldsymbol{e}_n
\]
ゆえに\( c_1 \boldsymbol{e}_1 + c_2 \boldsymbol{e}_2 + \cdots + c_n \boldsymbol{e}_n \in K^n \)に対して
\[
\begin{eqnarray}
f( \boldsymbol{x} ) &=& f( c_1 \boldsymbol{e}_1 + c_2 \boldsymbol{e}_2 + \cdots + c_n \boldsymbol{e}_n ) \\
&=& c_1 f(\boldsymbol{e}_1) + c_2 f(\boldsymbol{e}_2)+ \cdots + c_n f(\boldsymbol{e}_n) \\
&=& c_1 A \boldsymbol{e}_1 + c_2 A \boldsymbol{e}_2 + \cdots + c_n A \boldsymbol{e}_n \\
&=& A c_1 \boldsymbol{e}_1 + A c_2 \boldsymbol{e}_2 + \cdots + A c_n \boldsymbol{e}_n \\
&=& A( c_1 \boldsymbol{e}_1 + c_2 \boldsymbol{e}_2 + \cdots + c_n \boldsymbol{e}_n ) \\
&=& A \boldsymbol{x}
\end{eqnarray}
\]
よって任意の線形写像がある行列で表される！
次に線形写像\(f\)の行列での表し方が一意的であることを示す
\( B = ( b_{ij} ) \in K^{m \times n} \)を\(f\)の行列表示とすると
\[
f( \boldsymbol{e}_1 ) = A \boldsymbol{e}_1 =
\left( \begin{array}{c} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right)
= B \boldsymbol{e}_1 =
\left( \begin{array}{c} b_{11} \\ \vdots \\ b_{m1} \end{array} \right)
より
\left( \begin{array}{c} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} b_{11} \\ \vdots \\ b_{m1} \end{array} \right) \\
\quad \vdots \\
f( \boldsymbol{e}_n ) = A \boldsymbol{e}_n =
\left( \begin{array}{c} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right)
= B \boldsymbol{e}_n =
\left( \begin{array}{c} b_{1n} \\ \vdots \\ b_{mn} \end{array} \right)
より
\left( \begin{array}{c} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} b_{1n} \\ \vdots \\ b_{mn} \end{array} \right) \\
\therefore A = B
\]
定理5.1 (線形写像の行列表示)
線形写像\( f : K^n \longrightarrow K^m \)は適当な行列\( A \in K^{m \times n} \)により\( f = L_A \)と一意的に表される
