アソビ大全51の6ボールパズルを数学的に考察してみた

こんにちは、やみともです。
最近アソビ大全51の6ボールパズルに少しはまっています。

今回の記事では、僕が6ボールパズルについて数学的に考察してみた内容を紹介します。
あまり数学が得意ではないので間違いなどがあるかもしれませんが、その時はコメントやTwitterで教えていただけると幸いです。

ボールの落ち方は何種類あるか

この記事では、ボールの色を R(赤) G(緑) B(青) P(ピンク) Y(黄) で表すことにします。
また、ボールの落ち方を下のように表すことにします。

$ \frac{(R)}{(G)(B)} \quad \frac{(R)(R)}{(P)} $

では、まずボールの落ち方は何種類あるかについてですが、

3色落ちてくる場合

$ \frac{(R)}{(G)(B)} \quad \frac{(R)}{(B)(G)} $

落ちてくる色をRGBとした場合、本質的に上の2種類あります。
なぜ2種類なのかというと、上のどちらか片方をどう回してももう片方にならないからです。

そして5色から3色を選ぶ場合の数が $ {}_5 \mathrm{ C }_3 = 10 $ 通り。
10通りそれぞれに本質的に2種類落ち方があるので $ 10 \times 2 = 20 $ 通り。

2色落ちてくる場合

$ \frac{(R)}{(G)(G)} $

みたいな場合です。
この場合、3色の場合のように本質的に異なる落ち方はありません。

異なるのは落ちてくる色の選び方で、1種類目に選んだ色を1つ、2種類目に選んだ色を2つ、とすると、その選び方の場合の数は $ {}_5 \mathrm{ P }_2 = 20 $ 通り。

1色落ちてくる場合

$ \frac{(R)}{(R)(R)} $

この場合が一番簡単で、色が5種類あるので5通りです。

計算すると

合計を計算すると $ 20 + 20 + 5 = 45 $ 通りです。
しかし、3色の場合を同じ色を選んでも落ち方が2種類あるとすると、今後の計算が面倒なので、同じ色が選ばれた場合は1通りとします。
つまり、落ち方が $ 10 + 20 + 5 = 35 $ 通りだとして考えていきます。

多分だけど、3色の落ち方2種類を区別する必要性があまりない。多分・・・

具体的な確率

次に欲しい色が少なくとも1個以上落ちてくる確率

「欲しい色が少なくとも1個以上落ちてくる事象」は「欲しい色が1つも落ちてこない事象」の余事象なので、

1 - (欲しい色が1つも落ちてこない確率)

を求めればいい。
欲しい色が1つも落ちてこないということは、残りの4色から重複組み合わせで3つ選ぶ場合の数なので、落ち方の場合の数が全部で35通りなので

欲しい色が1個以上落ちてくる確率 = 1 - (欲しい色が1つも落ちてこない確率)

$ = 1 - \frac{{}_4 \mathrm{ H }_3}{35} = 1 - \frac{20}{35} = \frac{15}{35} \fallingdotseq 43\% $

重複組み合わせについては このサイト が分かりやすいです。

一応検算

欲しい色をRだとして、Rが1つ落ちてくる場合の数は、R以外の2つの色の組み合わせが$ {}_4 \mathrm{ H }_2 = 10 $ 通り。

欲しい色をRだとして、Rが2つ落ちてくる場合の数は、R以外の1つの色の選び方が4通り。

欲しい色をRだとして、Rが3つ落ちてくる場合の数は、明らかに1通り。

よって10+4+1=15で計算は合っていた。

ちなみにこれらの計算から
欲しい色が1つ落ちてくる確率は$ \frac{10}{35} \fallingdotseq 29\% $
欲しい色が2つ落ちてくる確率は$ \frac{4}{35} \fallingdotseq 11\% $
欲しい色が3つ落ちてくる確率は$ \frac{1}{35} \fallingdotseq 3\% $

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